Canonical Module

Definition / 定义

canonical module（典范模/规范模）：交换代数中的一个重要对象，通常记作 \( \omega_R \)（或 \( \omega_{R/I} \) 等），可看作在 Cohen–Macaulay 环（或相关情形）里起“对偶化（dualizing）”作用的模，用来表述与推广各种对偶性结果。它与几何中的“典范丛/正则微分形式”概念在思想上相通。
（在不同语境下定义方式略有差异；最常见的是把它理解为某种dualizing module 的具体实现。）

Pronunciation / 发音（IPA）

/kəˈnɑːnɪkəl ˈmɑːdʒuːl/
（也常见英式：/kəˈnɒnɪkəl ˈmɒdʒuːl/）

Examples / 例句

The ring is Cohen–Macaulay, so it has a canonical module.
这个环是 Cohen–Macaulay 的，因此它有一个典范模。

In many cases, the canonical module controls duality and helps characterize when a ring is Gorenstein.
在许多情况下，典范模主导对偶性，并帮助刻画一个环何时是 Gorenstein 的。

Etymology / 词源

canonical 源自希腊语/拉丁语传统中的 canon（“准则、规范、权威规则”），引申为“标准的、规范的”。module 来自拉丁语 modulus（“尺度、小量”），在现代数学中指满足特定运算规则的代数结构“模”。合在一起，canonical module 字面即“规范/标准的模”，对应其在对偶理论中扮演的“标准对象”角色。

Related Words / 相关词汇

• Dualizing Module
• Cohen–Macaulay
• Gorenstein
• Local Ring
• Matlis Duality
• Injective Hull
• Canonical Sheaf
• Serre Duality

In Literature / 文献与著作中的用例

• Cohen-Macaulay Rings（Bruns & Herzog）——系统讨论典范模、对偶性与 Cohen–Macaulay 理论。
• Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry（David Eisenbud）——在交换代数与代数几何连接处多次使用该概念。
• Residues and Duality（Robin Hartshorne）——对偶理论的经典著作，与典范对象（如典范丛/对偶化复形）关系紧密。
• Commutative Ring Theory（Hideyuki Matsumura）——在局部环与对偶相关章节涉及典范模/对偶化模思想。