Dualizing Module

释义 Definition

对偶化模（dualizing module）：交换代数与代数几何中的一种特殊 \(R\)-模（常记作 \(\omega_R\)），用于建立和表达对偶性理论（如局部对偶、Grothendieck 对偶）。它通常具有良好的有限性与同调性质，使得某些同调函子（如 \(\mathrm{Ext}\)、局部上同调）能呈现出“对偶”的对应关系。
（不同文献对精确定义与适用条件略有差异，常见于局部环/诺特环语境。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈdjuːəlaɪzɪŋ ˈmɑːdʒuːl/

例句 Examples

In commutative algebra, a dualizing module helps state local duality.
在交换代数中，对偶化模有助于表述局部对偶定理。

Assuming \(R\) is Cohen–Macaulay and has a dualizing module \(\omega_R\), we can describe canonical modules and compute certain \(\mathrm{Ext}\) groups more systematically.
若设 \(R\) 是 Cohen–Macaulay 环且存在对偶化模 \(\omega_R\)，则可以更系统地刻画典范模并计算某些 \(\mathrm{Ext}\) 群。

词源与背景 Etymology & Background

dualizing 来自 dualize（对偶化），源于 dual（对偶） 的数学用法；module 是代数中“模”的术语（可看作向量空间在一般环上的推广）。合在一起，dualizing module 字面意思就是“用于实现/表达对偶化的模”，对应其在同调代数与对偶理论中的功能。

相关词 Related Words

• Duality
• Dualize
• Canonical
• Canonical Module
• Cohen–Macaulay
• Local Duality
• Ext
• Injective
• Projective
• Functor

文学与名著中的用例 Literary Works

• Robin Hartshorne, Residues and Duality（经典对偶理论专著，讨论与 Grothendieck 对偶相关概念）
• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry（交换代数教材，涉及典范模/对偶性相关内容）
• Winfried Bruns & Jürgen Herzog, Cohen–Macaulay Rings（系统讨论 Cohen–Macaulay、典范模与对偶理论）
• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory（交换环理论经典教材，涵盖对偶性与相关同调工具）