Serre Duality

释义 Definition

Serre 对偶（Serre duality）：代数几何与复几何中的一个基本对偶定理，说明在适当条件下（如光滑射影簇/紧致复流形上），某些层上同调群彼此对偶。常见表述是：对维数为 \(n\) 的光滑射影簇 \(X\)，以及适当的凝聚层 \(\mathcal{F}\)，有
\[ H^i(X,\mathcal{F}) \cong H^{n-i}(X,\mathcal{F}^\vee \otimes \omega_X)^\* \] 其中 \(\omega_X\) 是典范线丛/典范层。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈsɛr(ə) duːˈælɪti/

例句 Examples

Serre duality relates certain cohomology groups on a smooth projective variety.
Serre 对偶把光滑射影簇上的某些上同调群联系起来。

Using Serre duality, one can identify \(H^1(X,\mathcal{O}_X)\) with the dual of \(H^{n-1}(X,\omega_X)\) under suitable hypotheses.
利用 Serre 对偶，在适当条件下可以把 \(H^1(X,\mathcal{O}_X)\) 识别为 \(H^{n-1}(X,\omega_X)\) 的对偶空间。

词源 Etymology

“Serre”来自法国数学家 Jean-Pierre Serre（让-皮埃尔·塞尔）的姓氏；“duality（对偶性）”来自拉丁语系词根，表示“两者成对、互为对应”。该术语指由 Serre 提出的（或以其工作为核心发展出的）上同调对偶框架，后来成为现代代数几何与层论的重要基石之一。

相关词 Related Words

• Cohomology
• Sheaf
• Canonical Bundle
• Riemann-Roch Theorem
• Grothendieck Duality
• Derived Category
• Algebraic Geometry
• Dual Vector Space

文学与名著中的出现 Notable Works

• Jean-Pierre Serre，《Faisceaux algébriques cohérents》（常简称 FAC）：Serre 对偶相关思想的重要经典来源之一。
• Robin Hartshorne，《Algebraic Geometry》：以层上同调为主线系统讲述 Serre 对偶的标准教材。
• Phillip Griffiths & Joseph Harris，《Principles of Algebraic Geometry》：在复几何/代数几何语境中使用并讨论对偶性工具。
• David Mumford，《Abelian Varieties》：在研究阿贝尔簇与线丛时涉及相关对偶思想与应用。