Picard Group

定义 (Definition)

Picard group（皮卡群）是代数几何与复几何中的一个重要不变量：通常指一个空间（如代数簇、概形或复流形）上线丛（可逆层）在张量积下构成的同构类群，常记为 Pic(X)。它刻画“线丛/除子”的整体分类信息；在许多情形下也与除子类群密切相关。（在不同背景下还有更精细的版本，但最常见含义如上。）

发音 (Pronunciation, IPA)

/pɪˈkɑːr/ /ɡruːp/

例句 (Examples)

The Picard group of the projective line is isomorphic to the integers.
射影直线的皮卡群同构于整数群。

In algebraic geometry, computing the Picard group often reveals how divisors and line bundles control the global geometry of a variety.
在代数几何中，计算皮卡群常常能揭示除子与线丛如何决定一个代数簇的整体几何结构。

词源 (Etymology)

Picard group以法国数学家埃米尔·皮卡（Émile Picard）命名；该概念在研究代数曲线、复几何与后来的概形理论中逐步发展，最终成为描述“线丛同构类在张量积下形成的群”的标准术语。

相关词 (Related Words)

• Divisor
• Line Bundle
• Invertible Sheaf
• Cartier Divisor
• Weil Divisor
• Class Group
• Neron-Severi Group
• Chern Class
• Cohomology
• Scheme

文学与经典著作中的用例 (Literary Works)

• Robin Hartshorne, Algebraic Geometry：在除子、线丛与层上同调的框架中系统使用 **Pic(X)**。
• A. Grothendieck & J. Dieudonné, *Éléments de Géométrie Algébrique (EGA)*：在概形语言下发展可逆层与Picard相关结构。
• **SGA (Séminaire de Géométrie Algébrique)**（多卷）：广泛出现Picard群、Picard函子/概形等相关内容。
• William Fulton, Intersection Theory：在交叉理论与除子类讨论中频繁使用Picard群的观点。
• David Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes：以较易读的方式介绍线丛与Picard群在几何中的角色。