Cartan Decomposition

定义（Definition）

Cartan decomposition（卡当分解）是李群与李代数中的一种重要结构分解。常见形式包括：

• 对半单李代数 \(\mathfrak g\)：\(\mathfrak g=\mathfrak k\oplus \mathfrak p\)（与某个Cartan对合相关，其中\(\mathfrak k\)为不动点子代数）。
• 对相应李群 \(G\)：常写作 \(G=KAK\)（或与之等价的分解形式），其中 \(K\) 常为极大紧子群，\(A\) 与一个“最大可交换部分”相关。
  它常用于研究对称空间、表示论与结构理论。（该术语在不同教材中也会出现等价变体表述。）

发音（Pronunciation, IPA）

/kɑːrˈtɑːn ˌdiːkəmˈpoʊzɪʃən/

例句（Examples）

Cartan decomposition helps us understand the structure of semisimple Lie groups.
卡当分解帮助我们理解半单李群的结构。

Using the Cartan decomposition \(G=KAK\), one can reduce certain analytic questions on \(G\) to integrals over \(A\) with symmetry from \(K\).
利用卡当分解 \(G=KAK\)，可以把李群 \(G\) 上的一些分析问题化简为在 \(A\) 上的积分，同时由 \(K\) 提供对称性来简化计算。

词源（Etymology）

Cartan来自法国数学家Élie Cartan（埃利·卡当）的姓氏，他对李群、李代数与对称空间的发展做出奠基性贡献；decomposition意为“分解”。合起来指“卡当提出/发展的一类结构分解”。

相关词（Related Words）

• Lie Group
• Lie Algebra
• Symmetric Space
• Maximal Compact Subgroup
• Iwasawa Decomposition
• Polar Decomposition
• Cartan Involution
• Cartan Subalgebra
• Weyl Group
• Root System

文学与著作引用（Literary Works）

• Sigurdur Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces（系统讨论对称空间与相关分解，包括卡当分解的框架）。
• Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction（在李群结构理论与表示论背景下介绍 \(G=KAK\) 等分解）。
• Brian C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations（以学习者友好的方式讲解李群/李代数基本结构，常涉及卡当型分解思想）。
• Frank W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups（在李群基础与几何背景中提及相关结构分解与对称空间工具）。