Iwasawa Decomposition

释义 Definition

岩泽分解（Iwasawa decomposition）：李群与对称空间中的一种经典分解方式。对许多（特别是半单）实李群 \(G\)，可以把任意元素写成三个部分的乘积
\[ G = KAN, \] 其中 \(K\) 通常是极大紧子群（maximal compact subgroup），\(A\) 是可交换的“对角化/伸缩”部分（通常为实分裂环面），\(N\) 是幂零（上三角型）部分。它在调和分析、表示论与对称空间几何中非常重要。
（在不同语境下也会出现更一般的表述，但最常见的是上述 \(KAN\) 形式。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌiːwəˈsɑːwə ˌdiːkɑːmpəˈzɪʃən/

例句 Examples

In \(SL(2,\mathbb{R})\), the Iwasawa decomposition writes a matrix as \(KAN\).
在 \(SL(2,\mathbb{R})\) 中，岩泽分解把一个矩阵写成 \(KAN\) 的形式。

Using the Iwasawa decomposition, one can express Haar measure in coordinates adapted to \(K\), \(A\), and \(N\), which is useful in harmonic analysis on \(G\).
利用岩泽分解，可以把哈尔测度写成适配于 \(K\)、\(A\)、\(N\) 的坐标形式，这在对 \(G\) 做调和分析时很有用。

词源与背景 Etymology & Background

该术语以日本数学家岩泽健吉（Kenkichi Iwasawa）命名；“decomposition”意为“分解”。这一分解与半单李群的结构理论密切相关，常与对称空间、表示论中的构造（如球函数/主级数表示）一起出现。

相关词 Related Words

• Lie Group
• Cartan Decomposition
• Bruhat Decomposition
• KAN Decomposition
• Maximal Compact Subgroup
• Symmetric Space
• Haar Measure
• Representation Theory

文献与著作 Literary / Notable Works

• Sigurdur Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces（讨论半单李群、对称空间结构，常用到 \(KAN\)/岩泽分解）
• Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction（系统讲解李群结构理论与相关分解）
• Garth Warner, Harmonic Analysis on Semi-Simple Lie Groups（在调和分析框架下使用岩泽分解）
• Nolan R. Wallach, Real Reductive Groups I（实约化群与表示论中常出现该分解）