我在英国，移动的号码长时间插着，好像没有类似短信。

虚拟和真实要看你怎么定义了。虚拟和真实其实都是随心而定的。

文档修复也是值得修的啊，只要不是 flood 就行了。

根据 multi-variance 的条件概率的定义，你得先算 var(X|Y=y)，这个根据二项分布的公式直接可得，var(X|Y=y) = ny(1-y)。
于是 var(X|Y) = nY(1-Y).

我选择胡椒。我们家胡椒粉的用量比盐大很多。

@huzhikuizainali

这个是数学中类似的说法的普遍模版。假设你有一个依赖于 c 的条件 P(c)。譬如，你说这个 P(c)是，c>2 。那么这个 P(c)其实是一个函数，你给一个 c 的值，他返回给你一个 boolean 逻辑值，这个和计算机的 boolean 逻辑是很像的。

一般的我们会说：

对于“任意”c （符合什么条件），P(c)都为正确。

这里有两个重点，“符合什么条件” 和 P(c)。

这里“任意”可以替换词所有，任意一个其实都是表达同一个意思。

e.g.1 P(c) : c > 2

对于任意的（ c > 2 ）, P(c) 都为正确。

看到 （ c > 2 ）是你的条件，P(c) 是你要判断的。

e.g.2 你的题目，P(c) 即为第二个等式如果相等就说条件成立，如果不等就说这个条件不成立。

对于任意的（ c 属于 real ），P(c) 都为正确。

看到（ c 属于 real ）是你的条件，P(c) 是你要判断的。

@huzhikuizainali 我举三个其实是说他们是同一个意思。arbitrary 你的理解是对的。any 在英语中有任意的意思。对所有符合条件的 c ，其实就是对任意符合条件的 c 。这三个东西是一个意思。

这个其实重点不在于用什么单词，而在于这个任意 c 这个定语在什么位置。

英语里面一般用 for arbitrary c that satisfy some conditions 或者 for any c that satisfy some conditions 或者 for all c that satisfy some conditions 。

你对于这个例 8 的“对于任意 c”的理解有误。这里的 c 在计算这个集合的时候是个固定值，题目中说的是，如果我们随便取一个 c 出来，然后 c 就固定不变了，那么有以下两个等式。

如果题目想要表达你的疑问的意思，一般会采用如下语言：
{x: sup f_x(x) > c, \forall c}

@Septsea 很感谢您的回答！！

这里的标准矩阵的定义的重点在于“某线性变换”的标准矩阵。标准矩阵本身并不是这个定义，随意当然不存在非标准矩阵。

你的理解也是正确的，任意的线性变换都存在对应的矩阵表示，任意的矩阵，都可以用线性变换表示。事实上，这两个东西在有限空间中没什么区别。至少我自己用的时候，都是随意互换的。

市面上已经有众多非常完善的线性代数教材，也有为不同领域（数学，计算机，物理）专门写的适合他们的线代教材。我很好奇，你这本有什么不一样的。

关于 Q1.2 ，这样设置的 CNAME ，Cloudflare 会 flatten CNAME 。其余我不清楚

https://developers.cloudflare.com/dns/cname-flattening/

这个不难，但是繁琐。重要的是一个关于期望的公式，如果你有 A 的期望为 E(A)和 B 的期望 E(B)。那么 A+B 的期望为 E(A+B)=E(A)+E(B)。

用你的例子来举例，如果你有 2 月十一号在周六的期望为 a ，二月二十三在周六的期望为 b 。那么二月二十一和二月二十三这两天在周六的期望为 a+b 。

这个比较繁琐的问题在于你要算的日子多，还要算闰年。但是只是繁琐，并不困难。

iPhone13 mini 带壳子摄像模组是不突出的。就是续航不行。

@qdwang 我记得 keka 还好用，但是需要付费。
https://ios.keka.io/

我现在基本解压用 7zip 的命令行，压缩就用 tar 了。用多了，命令背熟也方便的。

真开源直接 issue 或者 pull request 或者 review 之类的都好。

7zip 在 macos 下有命令行应用。

https://www.7-zip.org/download.html