Locally Ringed Space

释义 Definition

局部环空间：在拓扑空间 \(X\) 上配备一个“结构层” \(\mathcal{O}_X\)（给每个开集分配一个交换环），并且对每个点 \(x\in X\)，茎 \(\mathcal{O}_{X,x}\) 是局部环（有唯一极大理想）的环空间。它是代数几何与解析几何中刻画“带函数的空间”的基本对象；例如概形（scheme）就是一种局部环空间。（该术语在更广义语境下也可能有变体，但最常见指上述定义。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈloʊkəli rɪŋd speɪs/

例句 Examples

A scheme is a locally ringed space obtained by gluing affine schemes.
概形可以看作通过粘合仿射概形得到的一个局部环空间。

Morphisms of locally ringed spaces must respect both the topology and the local ring structure at each stalk.
局部环空间之间的态射必须同时尊重拓扑结构，并在每个点的茎上保持局部环结构的一致性。

词源 Etymology

该短语由 locally（“在局部/在每个点附近”）+ ringed（“带环的”，指配有环值结构层的环空间 ringed space）+ space（“空间”）组成。其核心思想是：不仅在开集上有“函数环”，而且在每个点附近的“局部函数环”（茎）必须是局部环，以便更好地表达“在一点处的函数行为”（如可逆元与消失性质），从而适配代数几何中的局部化方法。

相关词 Related Words

• Scheme
• Ringed Space
• Sheaf
• Structure Sheaf
• Stalk
• Local Ring
• Affine Scheme
• Morphism

文学与经典出处 Literary Works

• Robin Hartshorne，《Algebraic Geometry》：在介绍概形与层论框架时系统使用“locally ringed space”。
• Grothendieck & Dieudonné，《*Éléments de géométrie algébrique (EGA)*》：将局部环空间作为现代代数几何的基础语言之一。
• The Stacks Project（在线百科式专著）：大量条目以“locally ringed space”为基本对象定义与证明引理。
• Gelfand & Manin，《Methods of Homological Algebra》（及相关几何章节的背景引用）：在涉及层与几何结构的语境中常需依赖局部环空间/环空间的语言。