Lagrangian Submanifold

释义 Definition

拉格朗日子流形：在辛流形（symplectic manifold）中，一个维数等于环境空间“一半维数”的子流形，并且辛形式在其上限制为零。直观上，它是辛几何里“最不扭曲”的中间维子空间，常用来描述经典力学与哈密顿系统中的相空间结构。（该词也常见于镜像对称、Floer 同调等领域。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ləˈɡræn.dʒi.ən ˈsʌbˌmæn.ɪˌfoʊld/

例句 Examples

In \( \mathbb{R}^{2n} \), the plane spanned by the \( q \)-coordinates is a Lagrangian submanifold.
在 \( \mathbb{R}^{2n} \) 中，由 \( q \) 坐标张成的平面是一个拉格朗日子流形。

The conormal bundle of a submanifold gives a natural example of a Lagrangian submanifold in the cotangent bundle, which is central in microlocal analysis and symplectic geometry.
一个子流形的余法丛在余切丛中给出拉格朗日子流形的自然例子，这在微局部分析与辛几何中非常核心。

词源 Etymology

Lagrangian 来自法国数学家与物理学家 Joseph-Louis Lagrange（拉格朗日） 的姓氏，因其在分析力学中的拉格朗日形式而得名；在辛几何中，“Lagrangian”用来指满足特定辛结构条件的对象。Submanifold 由 *sub-*（“下、次级、子”）+ manifold（“流形”）组成，意为“嵌在更大流形中的流形”。

相关词 Related Words

• Symplectic
• Manifold
• Submanifold
• Hamiltonian
• Cotangent Bundle
• Exact
• Isotropic
• Coisotropic
• Legendrian
• Floer Homology

文献与著作 Literary Works

• Mathematical Methods of Classical Mechanics — V. I. Arnold（经典力学与辛几何背景中频繁出现）
• Introduction to Symplectic Topology — Dusa McDuff & Dietmar Salamon（系统讨论拉格朗日子流形等核心概念）
• Symplectic Geometry and Mirror Symmetry — 多作者文集（涉及拉格朗日子流形在镜像对称中的作用）
• Lectures on Symplectic Geometry — Ana Cannas da Silva（入门教材中常用该术语）
• Fukaya Categories and Picard–Lefschetz Theory — Paul Seidel（与拉格朗日子流形及其范畴化密切相关）