Isomorphism Theorem

Definition / 定义

同构定理：抽象代数中的一类基本定理（常见于群、环、模等结构），用来说明同态（homomorphism）与商结构（quotient）之间的关系。最常用的是第一同构定理：给定同态 \(f: A \to B\)，则 \(A/\ker(f)\) 与 \(\operatorname{Im}(f)\) 同构。
（注：同构定理通常不止一个，常见还有第二、第三同构定理，具体表述随研究对象而略有不同。）

Pronunciation / 发音

/ˌaɪsəˈmɔːrfɪzəm ˈθiːərəm/

Examples / 例句

The isomorphism theorem helps us understand quotient groups.
同构定理帮助我们理解商群。

Using the first isomorphism theorem, we can show that \(G/\ker(f)\) is isomorphic to \(\operatorname{Im}(f)\) for a group homomorphism \(f\).
利用第一同构定理，我们可以证明：对群同态 \(f\) 而言，\(G/\ker(f)\) 与 \(\operatorname{Im}(f)\) 同构。

Etymology / 词源

isomorphism 来自希腊语词根 iso-（“相同、相等”）+ morphē（“形状、形式”），合起来表示“形式相同”。theorem 源自希腊语 theōrēma，指“可被证明的命题”。因此 isomorphism theorem 字面意思可理解为“关于（结构）同构的定理”。

Related Words / 相关词

• Homomorphism
• Isomorphism
• Kernel
• Image
• Quotient
• Normal Subgroup
• Quotient Group
• First Isomorphism Theorem
• Second Isomorphism Theorem
• Third Isomorphism Theorem

Literary Works / 文学作品

• Abstract Algebra（D. S. Dummit & R. M. Foote）：系统讲解群/环/模的同构定理。
• Algebra（Serge Lang）：在更一般的代数结构中频繁使用同构定理。
• Algebra（Michael Artin）：以结构化方式呈现同态与商结构，同构定理是核心工具之一。
• A First Course in Abstract Algebra（John B. Fraleigh）：入门教材中通常用同构定理贯穿群论章节。
• A First Course in Algebraic Topology（Czes Kosniowski 等同类教材中常见）：在基本同调/基本群背景下常借用同构定理的思想与表述。