Integrally Closed

释义 Definition

（环论/交换代数）整闭的：指一个整环 \(R\) 在其分式域中没有“缺失”的整元素；也就是说，若某个元素在分式域里对 \(R\) 是整的（满足首一多项式方程且系数在 \(R\) 中），那么它其实已经属于 \(R\)。该性质常用来描述“没有可再通过整扩张补上的元素”的良好代数结构。（在更一般语境下也可指“在某个包含关系中对整闭”。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ɪnˈtɛɡrəli kləʊzd/

词源 Etymology

integrally 来自 integral（“整体的/整的”），在代数里引申为“与整性（integrality，整元素/整扩张）有关”；closed 表示“封闭的”，类似“在某种运算或条件下不再产生外部新元素”。合起来，integrally closed 就是“对整元素而言是封闭的（整闭）”。

例句 Examples

An integrally closed domain has no new integral elements in its field of fractions.
整闭整环在它的分式域中不会出现新的整元素。

If \(R\) is integrally closed, then any element of \(\mathrm{Frac}(R)\) integral over \(R\) must already lie in \(R\), which is crucial in algebraic geometry and number theory.
如果 \(R\) 是整闭的，那么 \(\mathrm{Frac}(R)\) 中任何对 \(R\) 整的元素必定已属于 \(R\)，这在代数几何与数论中非常关键。

相关词 Related Words

• Integral
• Integrality
• Integral Closure
• Integrally
• Closed
• Normal Domain
• Integral Domain
• Field Of Fractions
• Noetherian
• Ufd

文学与著作 Literary Works

• Introduction to Commutative Algebra（Atiyah & Macdonald）——在整扩张与整闭的章节中系统使用该术语。
• Commutative Algebra（Bourbaki）——以更一般与抽象的方式讨论整闭与整闭包。
• Commutative Ring Theory（H. Matsumura）——在正规性（normality）与整闭整环的关联处频繁出现。
• Algebraic Number Theory 相关教材（如 Neukirch 等体系）——在代数整数环“整闭”性质的讨论中使用该术语。