Factor Ring

释义 Definition

因子环（factor ring）：在抽象代数中，指把一个环 \(R\) 按某个理想 \(I\) 进行“模去/折叠”后得到的新环，记作 \(R/I\)。它也常被称为 商环（quotient ring）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈfæktər rɪŋ/

例句 Examples

A factor ring \(R/I\) is formed by grouping elements of \(R\) into cosets of the ideal \(I\).
因子环 \(R/I\) 是通过把环 \(R\) 的元素按理想 \(I\) 的陪集进行分组来构造的。

In the factor ring \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), addition and multiplication are computed modulo \(n\), which makes it a central example for studying congruences.
在因子环 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 中，加法和乘法都按模 \(n\) 运算，因此它是研究同余问题的核心例子。

词源 Etymology

“factor”源自拉丁语 facere（做、制造），在数学语境里常带有“把结构分解/按某关系归并”的意味；“ring”来自古英语 hring（环、圈），后来在代数中被借用来指一种带加法与乘法运算的结构。“factor ring”这一术语强调：把原环按某个理想“因子化（取商）”得到新结构；现代教材中更常用同义词 quotient ring。

相关词 Related Words

• Quotient Ring
• Ideal
• Coset
• Homomorphism
• Kernel
• Isomorphism Theorem
• Residue Class
• Modular Arithmetic

文学与著作 Literary Works

• Introduction to Commutative Algebra（Atiyah & Macdonald）——用商环/因子环系统讲解理想与局部化等概念。
• Abstract Algebra（Dummit & Foote）——在同态与同构定理章节中大量使用 \(R/I\)（商环/因子环）。
• Algebra（Serge Lang）——在环与模的理论中以因子环作为基本构造反复出现。