Birationality

释义 Definition

birationality（双有理性）：代数几何中的概念，指两个代数簇（或代数曲线/曲面等）之间存在双有理映射（birational map）——也就是在去掉低维“例外集合”后，二者可以通过有理映射互相对应；等价地，它们的函数域同构。常用来表达“在一般点上等同”的几何关系（比同构更弱）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌbaɪˌræʃəˈnælɪti/

例句 Examples

Birationality is weaker than isomorphism but still very useful in classification.
双有理性比同构更弱，但在分类问题中仍然非常有用。

The theorem implies that, after resolving singularities, the two surfaces are related by a birationality induced by a rational map.
该定理表明，在消解奇点之后，这两个曲面可由一个有理映射诱导的双有理性联系起来。

词源 Etymology

bi- 表示“两个/双向”，rational 在代数几何语境里指“有理的”（由多项式之比给出），加上名词后缀 -ity 构成抽象名词，表示“……的性质”。因此 birationality 字面意思就是“（互为）双向有理对应的性质”，中文常译作“双有理性”。

相关词 Related Words

• Birational
• Rational
• Rational Map
• Isomorphism
• Morphism
• Variety
• Function Field
• Blow-up
• Singularity
• Cremona Transformation

文学与经典著作 Literary Works

• Algebraic Geometry — Robin Hartshorne（经典教材中大量讨论双有理映射与双有理等价）
• Basic Algebraic Geometry — I. R. Shafarevich（介绍双有理几何与函数域观点）
• Principles of Algebraic Geometry — Phillip Griffiths & Joseph Harris（在复代数几何背景下涉及双有理概念）
• The Red Book of Varieties and Schemes — David Mumford（讨论簇/概形及相关的双有理思想）
• The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry — Ravi Vakil（讲义中广泛使用 birationality 与相关工具）