Weakly Compact

Definition / 定义

weakly compact（弱紧的；弱拓扑下紧致的）：在泛函分析/拓扑学中，指一个集合在弱拓扑（weak topology）下是紧致（compact）的。直观上说：用“更弱”的收敛概念（弱收敛）来看，它仍然具有紧致集合那种“不会向无穷处散开、总能抽出收敛子列/子网”的性质。
（注：不同语境下可能涉及“序列弱紧致”“弱*紧致”等相关概念。）

Pronunciation / 发音

/ˈwiːkli ˈkɒmpækt/
/ˈwiːkli ˈkɑːmpækt/

Examples / 例句

A closed bounded set is not always weakly compact.
闭有界集并不总是弱紧的（在弱拓扑下不一定紧致）。

By the Banach–Alaoglu theorem, the unit ball of the dual space is weak-star compact, and in many settings this yields weakly compactness results for bounded sets.
由巴拿赫–阿劳格鲁定理可知，对偶空间的单位球在弱*拓扑下是紧致的；在许多情形中，这会导出关于有界集合弱紧性的结论。

Etymology / 词源

该术语由 weakly（弱地/在弱意义下） + compact（紧致的） 组合而成：

• weak 源自古英语 wāc（软弱的、无力的），在数学里引申为“较弱的（拓扑/收敛）”。
• compact 源自拉丁语 compactus（紧密结合的），在拓扑学中发展为“紧致”的专门含义。
  因此 weakly compact 字面即“在弱拓扑意义下的紧致”。

Related Words / 相关词

• Weak
• Compact
• Weak Topology
• Weak Convergence
• Weak-Star Compact
• Sequentially Compact
• Reflexive
• Banach-Alaoglu Theorem
• Tychonoff Theorem

Literary Works / 文学与著作

• Walter Rudin, Functional Analysis（常见于关于弱拓扑与弱紧致的章节）
• John B. Conway, A Course in Functional Analysis
• Nelson Dunford & Jacob T. Schwartz, Linear Operators
• Reed & Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. I: Functional Analysis
• Bourbaki, General Topology（涉及紧致性与相关拓扑概念）