Banach-Alaoglu Theorem

释义 Definition

巴拿赫–阿劳格鲁定理：泛函分析中的一个重要紧性定理，常见表述为：在赋范空间 \(X\) 的对偶空间 \(X^*\) 中，闭单位球在弱*（weak-*）拓扑下是紧的（更准确地说，在一般情形下是**弱***紧；在可度量条件下可表述为序列紧性等）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈbɑːnɑːx əˈlɑːɡluː ˈθiːərəm/

例句 Examples

The Banach-Alaoglu theorem says the closed unit ball in the dual space is weak-* compact.
巴拿赫–阿劳格鲁定理指出：对偶空间中的闭单位球在弱*拓扑下是紧的。

Using the Banach-Alaoglu theorem, we can extract a weak-* convergent subsequence from any bounded sequence of functionals, which is crucial in many existence proofs.
利用巴拿赫–阿劳格鲁定理，我们可以从任意有界的泛函序列中抽取一个弱*收敛的子序列，这在许多存在性证明中至关重要。

词源 Etymology

该定理以两位数学家命名：Stefan Banach（斯特凡·巴拿赫）与 Leonidas Alaoglu（列奥尼达斯·阿劳格鲁）。它出现在20世纪早期的泛函分析发展过程中，用来刻画对偶空间在弱*拓扑下的紧性性质，是许多“从有界性推出收敛（或取极限）”论证的基础工具。

相关词 Related Words

• Compactness
• Weak-star Topology
• Dual Space
• Hahn-Banach Theorem
• Reflexive
• Weak Convergence
• Unit Ball
• Topology

文学与名著中的用例 Literary Works

• Functional Analysis（Walter Rudin）——在对偶空间与弱/弱*拓扑章节中讨论弱*紧性并引用该定理。
• Introductory Functional Analysis with Applications（Erwin Kreyszig）——以该定理作为弱*收敛与存在性证明的关键工具之一。
• Linear Operators, Part I: General Theory（Nelson Dunford & Jacob T. Schwartz）——在算子理论与拓扑向量空间框架中使用巴拿赫–阿劳格鲁定理建立紧性结论。
• Real and Functional Analysis（Serge Lang）——在对偶性与弱*拓扑相关内容中出现并用于后续定理推导。