Unipotent Radical

定义 Definition

unipotent radical（幂零根/幂零根子群/幺幂根）：在代数群（或相关的线性群）理论中，指一个代数群（常见为抛物子群或连通代数群）中最大的连通、正规（normal）的幺幂（unipotent）子群。直观上，它是该群里“最像上三角幺幂矩阵那样可逐步‘消去’的部分”；把它除掉后，剩下部分往往更“半单/可约化”（reductive），与 Levi 分解 密切相关。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌjuːnɪˈpoʊtənt ˈrædɪkəl/

例句 Examples

In a Borel subgroup, the unipotent radical consists of upper triangular matrices with ones on the diagonal.
在一个 Borel 子群中，unipotent radical 由对角线全为 1 的上三角矩阵组成。

For a parabolic subgroup \(P\), the unipotent radical \(R_u(P)\) is normal in \(P\), and the quotient \(P/R_u(P)\) is a Levi (reductive) factor.
对一个抛物子群 \(P\) 而言，其 unipotent radical \(R_u(P)\) 在 \(P\) 中是正规子群，并且商群 \(P/R_u(P)\) 给出一个 Levi（可约化）因子。

词源 Etymology

unipotent 来自 **uni-**（“一、单一”）与拉丁语词根 potent-/potens（“有力的、能够的”）的组合，在数学里转义为“与 1 紧密相关的幂”：例如矩阵满足 \((A-I)^n=0\)（某次幂后为零），即“幺幂”。
radical 源自拉丁语 radix（“根”），在数学中常表示“某种结构里最核心、可剥离的一部分”（如“根子群/根理想”一类的直觉）。因此 unipotent radical 字面上可理解为“群中最核心的幺幂部分”。

相关词 Related Words

• Algebraic Group
• Unipotent
• Parabolic Subgroup
• Borel Subgroup
• Levi Decomposition
• Reductive Group
• Unipotent Group
• Unipotent Element
• Nilpotent
• Radical

文献与著作 Notable Works

• Armand Borel, Linear Algebraic Groups（讨论抛物子群与其幺幂根，常用记号 \(R_u(P)\)）
• James E. Humphreys, Linear Algebraic Groups（介绍 Borel/抛物子群结构与 unipotent radical）
• T. A. Springer, Linear Algebraic Groups（系统呈现 Levi 分解与相关概念）
• Jens Carsten Jantzen, Representations of Algebraic Groups（在表示论语境中频繁使用 \(R_u(P)\) 与抛物子群结构）