Symplectic Manifold

释义 Definition

辛结构流形 / 辛流形：一种带有辛形式（symplectic form）的光滑流形。更具体地说，它配备一个二维微分形式 \( \omega \)，满足：

• 非退化（nondegenerate）：在每个点上都足够“强”，能把切向量与对偶空间对应起来；
• 闭合（closed）：\( d\omega = 0 \)。
  因此，辛流形通常是偶数维的，在经典力学中常用于描述相空间（phase space）。

发音 Pronunciation (IPA)

/sɪmˈplɛk.tɪk ˈmæn.ɪˌfoʊld/

例句 Examples

A symplectic manifold is always even-dimensional.
辛流形总是偶数维的。

In Hamiltonian mechanics, the phase space is modeled as a symplectic manifold, and the Hamiltonian flow preserves the symplectic form.
在哈密顿力学中，相空间常被建模为辛流形，而哈密顿流会保持辛形式不变。

词源 Etymology

symplectic 一词来自希腊语词根，含“交织在一起、缠绕”之意（强调结构的相互耦合）；现代数学中该术语与相关结构的命名传统有关。manifold 源于德语 Mannigfaltigkeit（“多样性/多重性”），在数学中指“局部像欧几里得空间那样的空间”。

相关词 Related Words

• Symplectic
• Manifold
• Symplectic Form
• Hamiltonian
• Phase Space
• Poisson Bracket
• Lagrangian Submanifold
• Darboux Theorem
• Differential Geometry

文学与典籍 Literary Works

• Introduction to Symplectic Topology — Dusa McDuff & Dietmar Salamon
• Symplectic Geometry and Analytical Mechanics — Ralph Abraham & Jerrold E. Marsden
• Mathematical Methods of Classical Mechanics — V. I. Arnold
• Foundations of Mechanics — Ralph Abraham & Jerrold E. Marsden