Satake Parameter

Definition（释义）

Satake parameter（佐竹参数）：在数论与表示论中，用来刻画未分歧（unramified）局部表示或Hecke 特征值的一个共轭类数据，通常取值于某个群的Langlands 对偶群（L-group/dual group）中的半单共轭类。它把“算术信息（如 Hecke 算子本征值）”与“表示/对偶群中的元素”联系起来。
（该术语也常与 Satake isomorphism、Langlands parameter 等一起出现。）

Pronunciation（发音，IPA）

/səˈtɑːkeɪ pəˈræmɪtər/

Examples（例句）

The Satake parameter determines the Hecke eigenvalues at an unramified prime.
佐竹参数决定了在一个未分歧素数处的 Hecke 本征值。

For a cuspidal automorphic representation, the family of Satake parameters encodes its local unramified components and matches the expected data in the Langlands correspondence.
对一个尖点自守表示而言，一族佐竹参数编码了它在各处的未分歧局部分量，并与朗兰兹对应中预期的数据相吻合。

Etymology（词源）

Satake 来自日本数学家 Ichirō Satake（佐竹一郎） 的姓氏；parameter 表示“参数”。该概念与 Satake 同构（Satake isomorphism）密切相关：Satake 在研究 \(p\)-进群的球面函数与 Hecke 代数时，引入了用对偶群中的共轭类来描述未分歧表示/本征值的数据结构，后来在朗兰兹纲领语境中被系统化为“Satake parameter”。

Related Words（相关词）

• Hecke Operator
• Hecke Eigenvalue
• Unramified Representation
• Spherical Representation
• Satake Isomorphism
• L-Group
• Langlands Parameter
• Dual Group
• Automorphic Representation

Literary Works（文学/经典著作中的出现）

• Ichirō Satake, Theory of Spherical Functions on Reductive Algebraic Groups over p-adic Fields（提出并奠基相关框架，术语与思想来源）
• James W. Cogdell（等），The Langlands Program / An Introduction to the Langlands Program（介绍 Satake 参数与朗兰兹对应的关系）
• Daniel Bump, Automorphic Forms and Representations（讨论未分歧处的局部因子与 Satake 参数）
• Stephen S. Gelbart, Automorphic Forms on Adele Groups（涉及 Hecke 代数与未分歧局部理论中的 Satake 参数表述）
• Armand Borel（相关讲义/论文集），关于 Automorphic forms 与 Hecke algebras 的章节（常出现 Satake 同构与 Satake 参数的标准表述）