One-Sided Limit

定义 Definition

（数学/微积分）单侧极限：当自变量 \(x\) 从某一侧（左侧或右侧）趋近于某点 \(a\) 时，函数 \(f(x)\) 所趋近的值。常写作 \(\lim_{x\to a^-} f(x)\)（左极限）或 \(\lim_{x\to a^+} f(x)\)（右极限）。若左右极限都存在且相等，则两侧极限 \(\lim_{x\to a} f(x)\) 存在。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌwʌnˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/

例句 Examples

As \(x\) approaches 0 from the right, the one-sided limit is 1.
当 \(x\) 从右侧趋近 0 时，单侧极限为 1。

To determine whether \(\lim_{x\to a} f(x)\) exists, we compare the left-hand and right-hand one-sided limits; if they differ, the limit does not exist even if both are finite.
要判断 \(\lim_{x\to a} f(x)\) 是否存在，需要比较左、右单侧极限；如果两者不同，那么即使它们都有限，极限也不存在。

词源 Etymology

one-sided 意为“单边的/单侧的”，由 one（一）+ side（侧、边）构成；limit 来自拉丁语 limes（边界、界限），在数学中引申为“趋近的界限值”。组合起来即“从某一侧趋近时的极限”。

相关词 Related Words

• Left-hand Limit
• Right-hand Limit
• Limit
• Continuity
• Discontinuity
• Derivative
• Piecewise Function
• Asymptote

文学与教材中的用例 Literary Works

• Calculus（James Stewart）：在讨论分段函数、连续性与极限存在性时常使用 one-sided limit（单侧极限）的概念。
• Calculus, Vol. 1（Tom M. Apostol）：以左、右单侧极限来严谨刻画两侧极限与连续性的条件。
• Thomas’ Calculus（George B. Thomas 等）：在处理跳跃间断、端点极限与图像分析时频繁出现该术语。