Log-MGF

定义 Definition

log-mgf 指矩母函数（MGF, moment generating function）的对数，常用于概率论与统计中；它也常被视为累积量生成函数（cumulant-generating function, CGF）的另一种说法：
若随机变量 \(X\) 的矩母函数为 \(M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]\)，则
\[ \log\text{-mgf}(t)=\log M_X(t)=\log\big(\mathbb{E}[e^{tX}]\big). \]
它在推导均值、方差、累积量以及大偏差理论中很常见。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌlɔːɡ ˌɛm dʒiː ˈɛf/

例句 Examples

The log-mgf helps summarize the distribution of a random variable.
log-mgf 有助于概括一个随机变量的分布特征。

Using the log-mgf, we can derive cumulants and apply Chernoff bounds to estimate tail probabilities.
利用 log-mgf，我们可以推导累积量，并使用切尔诺夫界来估计尾部概率。

词源 Etymology

log-mgf 是一个由两部分构成的技术写法：log- 表示“对数”，MGF 是 moment generating function（矩母函数） 的首字母缩写。把 MGF 取对数后，很多乘法结构会变成加法，推导与优化（例如上界估计）往往更方便，因此在统计与概率文献中被频繁使用。

相关词 Related Words

• Cumulant-Generating Function
• Moment-Generating Function
• Cumulant
• Chernoff Bound
• Laplace Transform
• Large Deviations
• Variance
• Expectation

文学与著作 Literary Works

• A First Course in Probability（Sheldon M. Ross）
• Probability and Measure（Patrick Billingsley）
• Statistical Inference（George Casella & Roger L. Berger）
• Large Deviations Techniques and Applications（Amir Dembo & Ofer Zeitouni）
• Elements of Large-Sample Theory（A. W. van der Vaart）