Moment Generating Function

定义 Definition

矩母函数（MGF）：在概率论与统计中，用来刻画随机变量分布的一种函数，定义为
\[ M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}] \] （在期望存在的 \(t\) 的范围内）。它常用于求各阶矩（如均值、方差）以及研究分布性质；有时也用于证明收敛、处理独立和等问题。除这一常用含义外，在其他语境中“generating function（生成函数）”还可指不同类型的生成函数。

发音 Pronunciation

/ˈmoʊmənt ˈdʒɛnəreɪtɪŋ ˈfʌŋkʃən/

例句 Examples

The moment generating function helps us find the mean and variance.
矩母函数可以帮助我们求均值和方差。

If the moment generating function exists in a neighborhood of zero, it can uniquely determine the distribution.
如果矩母函数在零点附近的一段区间内存在，它通常可以唯一确定该随机变量的分布。

词源 Etymology

该术语由三部分组成：moment（矩） + generating（生成） + function（函数）。之所以叫“矩母函数”，是因为它通过对 \(t\) 求导并在 \(t=0\) 处取值，可以“生成”随机变量的各阶矩：
\[ M_X^{(n)}(0)=\mathbb{E}[X^n] \] 因此得名。

相关词 Related Words

• Expectation
• Random Variable
• Probability Distribution
• Moment
• Characteristic Function
• Cumulant Generating Function
• Variance
• Central Limit Theorem

文学与经典教材中的出现 Literary Works

• A First Course in Probability（Sheldon Ross）中在讨论常见分布与矩的章节会系统使用矩母函数。
• Introduction to Probability Models（Sheldon M. Ross）在推导分布性质、处理独立和与和的分布时频繁出现该概念。
• Statistical Inference（Casella & Berger）在与矩、累积量及近似推导相关的内容中会提到矩母函数及其用途。