Kodaira Dimension

定义 Definition

Kodaira dimension（小平维数）是代数几何与复几何中的一个双有理不变量，用来衡量一个复流形/代数簇（尤其是曲面与高维簇）在“大尺度”上有多接近“具有很多全纯微分形式”。它通过研究典范丛 \(K_X\) 的高次张量幂的截面增长率来刻画几何的“复杂度”。（在某些情形下也允许取值为 \(-\infty\)。）

发音 Pronunciation (IPA)

/koʊˈdaɪrə daɪˈmɛnʃən/

例句 Examples

The Kodaira dimension helps classify complex surfaces.
小平维数有助于对复曲面进行分类。

For a smooth projective variety, the Kodaira dimension is determined by the asymptotic growth of sections of multiples of the canonical bundle.
对光滑射影簇而言，小平维数由典范丛倍数的截面数的渐近增长行为所决定。

词源 Etymology

Kodaira来自日本数学家小平邦彦（Kunihiko Kodaira）的姓氏；该概念在复几何与代数曲面分类理论的发展中形成并普及。“dimension”在这里并非通常的空间维数，而是指由典范丛相关的截面增长所导出的“维度式”分类指标（与后来的 Iitaka 维数等观点密切相关）。

相关词 Related Words

• Algebraic Variety
• Birational
• Canonical Bundle
• Complex Surface
• Enriques–Kodaira Classification
• Iitaka Dimension
• Minimal Model
• Plurigenus

文学与名著中的出现 Notable Works

• Complex Manifolds and Deformation of Complex Structures（Kunihiko Kodaira）：讨论复流形结构与分类背景，相关概念常与小平的工作脉络一同出现。
• Complex Algebraic Surfaces（Barth–Hulek–Peters–Van de Ven）：在曲面分类（含 Enriques–Kodaira 分类）中系统使用小平维数。
• Birational Geometry of Algebraic Varieties（János Kollár & Shigefumi Mori）：在双有理几何与极小模型纲领的语境中与 Kodaira 维数密切关联。
• Principles of Algebraic Geometry（Griffiths & Harris）：在复代数几何的框架下涉及典范丛、截面增长与相关分类思想。