Ideal Quotient

Definition / 定义

ideal quotient（理想商/商理想）指在环论中由一个理想（或两个理想）构造出来的“商”对象，最常见用法是：

1. 商环：把环 \(R\) 按理想 \(I\) 进行“模掉”，得到 \(R/I\)（把相差一个 \(I\) 中元素的两个元素视为同一个）。
2. 理想商（colon ideal）：对理想 \(I,J\subseteq R\)，\((I:J)=\{r\in R\mid rJ\subseteq I\}\)。

Pronunciation / 发音

/ˈaɪdiəl ˈkwoʊʃənt/

Examples / 例句

We form the ideal quotient \(R/I\) to simplify the problem.
我们构造商环 \(R/I\) 来简化问题。

In commutative algebra, the ideal quotient \((I:J)\) helps describe elements that send \(J\) into \(I\) under multiplication.
在交换代数中，理想商 \((I:J)\) 用来描述那些在乘法下把 \(J\) “送入” \(I\) 的元素。

Etymology / 词源

ideal 来自“idea（观念）”一词的历史演变，在数学里由 19 世纪代数发展中被赋予“理想（ideal）”这一专门含义，用于描述环中具有良好封闭性质的子集。quotient 源自拉丁语 quoties（多少次/多少份），表示“商、商对象”。合在一起，ideal quotient 就表示“与理想相关的商（或商构造）”。

Related Words / 相关词

• Ideal
• Quotient
• Quotient Ring
• Ring
• Ideal (Colon Ideal)
• Coset
• Homomorphism
• Kernel
• Isomorphism Theorem

Literary Works / 文学作品与经典出处

• Introduction to Commutative Algebra（Atiyah & Macdonald）
• Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry（David Eisenbud）
• Algebra（Serge Lang）
• Abstract Algebra（Dummit & Foote）
• Algebra（Thomas W. Hungerford）