Finite Flat Group Scheme
释义 Definition（定义）
finite flat group scheme：代数几何/算术几何中的术语，指一个群概形（group scheme） \(G\to S\)，其结构态射在几何意义上同时满足：
- finite（有限）：作为 \(S\) 上的概形，\(G\to S\) 是有限态射（可理解为“纤维是有限的、代数上由有限生成的结构控制”）。
- flat（平坦）：\(G\to S\) 是平坦态射（直观上表示“在基底变化时纤维的代数性质不突然跳变”，保持良好的一致性）。
它常用于研究有限阶的对称性对象、同余子群、椭圆曲线的 \(p\)-扭点结构、以及Galois 表示的几何化等。
发音 Pronunciation（IPA）
/ˈfaɪnaɪt flæt ɡruːp skiːm/
例句 Examples（例句）
A finite flat group scheme over a ring can model torsion points in a family.
在一个环上定义的有限平坦群概形可以用来刻画一族对象中的扭点。
In the study of elliptic curves, a finite flat group scheme often encodes the \(p\)-power torsion and behaves well under base change.
在椭圆曲线的研究中，有限平坦群概形常常编码 \(p\) 次幂扭子群，并且在基底变换下通常具有良好的性质。
词源 Etymology（词源）
这是一个由三部分组成的复合术语：
- finite 源自拉丁语 finis（界限、终点），在数学里引申为“由有限数据控制/有限性条件”。
- flat 来自古英语 flet（平的），在代数几何中“平坦（flatness）”是 Grothendieck 体系里核心的技术条件，用来表达“无突变的家族”。
- group scheme 是“群 + 概形”的组合概念：把“群运算”用概形态射的语言表达，使群对象能在几何/算术基底 \(S\) 上变化。
合在一起，finite flat group scheme强调一种“有限阶且随基底变化平稳”的群对象。
相关词 Related Words（相关词）
文学作品 Literary Works（常见出处）
- SGA 3: Schémas en groupes（Grothendieck 等）：系统发展群概形理论的经典文献，频繁涉及有限平坦群概形。
- The Arithmetic of Elliptic Curves（Joseph H. Silverman）：讨论椭圆曲线的算术结构时会用到与有限平坦群概形相关的对象与语言。
- Arithmetic Moduli of Elliptic Curves（Katz–Mazur）：在模空间与椭圆曲线的整模型中，有限平坦群概形用于描述 \(p\)-扭结构等。
- Introduction to Affine Group Schemes（William C. Waterhouse）：群概形入门书，相关章节会触及有限/平坦等性质在群概形中的表现。
- Étale Cohomology（J. S. Milne）：在算术几何语境下，有限平坦（以及有限 étale）群概形与上同调、基本群等主题相互关联。
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