Dual Basis

Definition 定义

对偶基（dual basis）是线性代数中的概念：设向量空间 \(V\) 的一组基为 \(\{v_1,\dots,v_n\}\)，其对偶空间 \(V^\*\) 中存在一组线性函数（协向量）\(\{f^1,\dots,f^n\}\)，满足
\[ f^i(v_j)=\delta^i_j \] 其中 \(\delta^i_j\) 是克罗内克δ（当 \(i=j\) 时为 1，否则为 0）。这组 \(\{f^i\}\) 就称为 \(\{v_i\}\) 的对偶基。
（该术语主要用于线性代数/张量与微分几何语境。）

Pronunciation 发音

/ˈduː.əl ˈbeɪ.sɪs/

Examples 例句

Find the dual basis corresponding to this basis of \(V\).
求出与 \(V\) 的这组基对应的对偶基。

Given a basis \(\{v_i\}\) and its dual basis \(\{f^i\}\), any linear functional \(\varphi\in V^\*\) can be written as \(\varphi=\sum_i \varphi(v_i)\,f^i\).
给定一组基 \(\{v_i\}\) 及其对偶基 \(\{f^i\}\)，任意线性泛函 \(\varphi\in V^\*\) 都可写成 \(\varphi=\sum_i \varphi(v_i)\,f^i\)。

Etymology 词源

dual 来自拉丁语 dualis（“二的、成对的”），强调“成对/对偶”的关系；basis 源自希腊语 basis（“底座、基础”），经拉丁语进入英语。组合成 dual basis，字面即“对偶的基”，用于描述“基与对偶空间中与之配对的一组基”。

Related Words 相关词

• Dual
• Basis
• Dual Space
• Vector Space
• Linear Functional
• Covector
• Kronecker Delta
• Coordinate

In Literature & Notable Works 文学与著作

• Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler（讨论对偶空间与对偶基的构造与性质）
• Linear Algebra — Friedberg, Insel & Spence（标准教材中系统引入 dual basis 与坐标表示）
• Finite-Dimensional Vector Spaces — Paul R. Halmos（以抽象向量空间观点讲解对偶与对偶基）
• Linear Algebra — Serge Lang（在对偶空间、线性泛函与坐标化中使用该术语）