Cotangent Space

释义 Definition

余切空间：在微分几何中，给定一个光滑流形上某点 \(p\)，其余切空间 \(T_p^*M\) 是该点切空间 \(T_pM\) 的对偶空间，由所有作用在切向量上的线性函数（也可理解为该点的1-形式/微分）组成。

例句 Examples

The cotangent space at a point consists of all linear functionals on the tangent space.
一点处的余切空间由切空间上所有线性泛函组成。

In differential geometry, a smooth map pulls back 1-forms by mapping covectors in the cotangent space of the target to the cotangent space of the domain.
在微分几何中，一个光滑映射通过“拉回”1-形式，把目标空间余切空间中的余向量映射到定义域的余切空间中。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌkɑːtənˈdʒənt speɪs/

词源 Etymology

cotangent 来自三角函数术语：co-（“互补的/对应的”）+ tangent（“正切”）。历史上“cotangent（余切）”与“tangent（正切）”对应互补角。后来在微分几何与线性代数中，tangent space（切空间）表示“方向的线性化”，而其对偶空间便称为 cotangent space（余切空间），强调“与切向量配对的线性函数”。

相关词 Related Words

• Tangent Space
• Cotangent Bundle
• Manifold
• Dual Space
• Covector
• One-Form
• Differential
• Pullback
• Riemannian Metric

文学与著作中的用例 Literary Works

• Michael Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry（系统使用余切空间与1-形式）
• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds（用 \(T_p^*M\) 讨论微分形式与拉回）
• Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry（在度量、对偶与张量计算中频繁出现）
• Vladimir I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics（以余切丛/余切空间作为哈密顿力学的相空间框架）