Cartan Matrix

定义 Definition

Cartan 矩阵是李代数与根系理论中的一种方阵，用来编码简单根之间的相互关系。对半单李代数（或更一般的 Kac–Moody 代数）而言，它的对角元通常为 2，非对角元为非正整数，并满足特定对称/可对称条件；它与 Dynkin 图一一对应（在有限型情形下），用于分类简单李代数。

发音 Pronunciation (IPA)

/kɑːrˈtɑːn ˈmeɪtrɪks/

例句 Examples

The Cartan matrix determines the Dynkin diagram of a simple Lie algebra.
Cartan 矩阵决定了简单李代数所对应的 Dynkin 图。

By computing the Cartan matrix from the simple roots, we can classify the root system and study its representations.
通过由简单根计算 Cartan 矩阵，我们可以对根系进行分类，并进一步研究其表示。

词源 Etymology

“Cartan”来自法国数学家 Élie Cartan（埃利·嘉当）的姓氏；“matrix”源自拉丁语 matrix（意为“母体/源头”），在数学中指“矩阵”。该术语之所以以 Cartan 命名，是因为它在李群、李代数与相关结构的研究与分类中起到核心的“结构编码”作用。

相关词 Related Words

• Lie Algebra
• Root System
• Dynkin Diagram
• Simple Root
• Weyl Group
• Kac–Moody Algebra
• Generalized Cartan Matrix
• Coxeter Matrix

文学与名著用例 Notable Works

• Victor G. Kac, Infinite-Dimensional Lie Algebras（广泛使用并系统讨论广义 Cartan 矩阵）
• James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory（用 Cartan 矩阵与 Dynkin 图进行分类入门）
• Jean-Pierre Serre, Complex Semisimple Lie Algebras（涉及根系、Cartan 数据与结构理论）
• Nicolas Bourbaki, Lie Groups and Lie Algebras（以公理化方式使用 Cartan 矩阵/根系框架）
• Roger W. Carter, Lie Algebras of Finite and Affine Type（有限型与仿射型分类中频繁出现）