Affine Variety

定义 Definition

仿射簇：代数几何中的基本对象，通常指在某个域（如实数域或复数域）上，由一组多项式方程在仿射空间 \( \mathbb{A}^n \) 中的共同零点集合所定义的几何形状。更严格地说，它常与一个多项式理想对应（在合适条件下可取其零点集并赋予相应的代数结构）。
（该术语在不同教材中可能在“几何点集”和“带结构的空间”之间有不同侧重。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈæfaɪn ˈvɛəriəti/

例句 Examples

An affine variety can be defined by polynomial equations in \( \mathbb{A}^n \).
仿射簇可以由仿射空间 \( \mathbb{A}^n \) 中的多项式方程来定义。

The coordinate ring of an affine variety encodes its geometry, linking ideals in \( k[x_1,\dots,x_n] \) to algebraic sets via the Nullstellensatz.
仿射簇的坐标环把它的几何信息“编码”起来，并通过零点定理把 \( k[x_1,\dots,x_n] \) 中的理想与代数集合联系起来。

词源 Etymology

affine 来自拉丁语 affinis（“相邻的、有关联的”），在数学中表示“保持直线与平行性、但不一定保持长度角度”的仿射变换与仿射空间；variety 在代数几何里指由多项式方程定义的“几何对象/多样体式的集合”。合起来，affine variety 强调这是定义在仿射空间中的代数几何对象（相对于射影空间中的 projective variety）。

相关词 Related Words

• Affine Space
• Algebraic Set
• Ideal
• Coordinate Ring
• Nullstellensatz
• Projective Variety
• Scheme
• Zariski Topology

文献与著作中的用例 Literary Works

• Algebraic Geometry — Robin Hartshorne（经典教材，系统使用并发展仿射簇与射影簇语言）
• Basic Algebraic Geometry — Igor Shafarevich（入门与经典叙述中频繁出现 affine variety）
• Ideals, Varieties, and Algorithms — David Cox, John Little, Donal O’Shea（以计算视角讲解仿射簇与多项式理想）
• The Red Book of Varieties and Schemes — David Mumford（从簇到概型的过渡中常提及仿射簇）