Whitehead Theorem

Definition / 释义

Whitehead Theorem（怀特黑德定理）是代数拓扑中的一个基本定理：在适当条件下（最常见的是CW 复形之间），如果一个连续映射诱导同伦群上的同构（即是弱同伦等价），那么该映射实际上是同伦等价。常用来把“代数不变量上的等价”提升为“空间在同伦意义下等价”。（该名称在不同语境下也可能指相关的若干变体。）

Pronunciation / 发音（IPA）

/ˈwaɪtˌhɛd ˈθɪərəm/

Examples / 例句

A weak homotopy equivalence between CW complexes is a homotopy equivalence by the Whitehead theorem.
在 CW 复形之间，弱同伦等价由怀特黑德定理可推出同伦等价。

Using the Whitehead theorem, we reduce the problem to checking that the map induces isomorphisms on all homotopy groups.
利用怀特黑德定理，我们把问题化简为检验该映射是否在所有同伦群上诱导同构。

Etymology / 词源

该定理以英国数学家 J. H. C. Whitehead（J. H. C. 怀特黑德）命名。他在 20 世纪的同伦论发展中贡献突出，此定理是把“同伦群信息”与“空间同伦类型”联系起来的重要桥梁，因此被广泛引用并以其姓氏冠名。

Related Words / 相关词

• Homotopy
• Homotopy Equivalence
• Weak Homotopy Equivalence
• CW Complex
• Homotopy Group
• Fundamental Group
• Hurewicz Theorem
• Eilenberg–MacLane Space

Notable Works / 文献与名著中的出现

• J. H. C. Whitehead 的同伦论相关论文与著作（其定理的最初来源与早期表述常见于他的研究文献中）
• Allen Hatcher, Algebraic Topology（《代数拓扑》；在同伦群与 CW 复形部分常引用 Whitehead theorem）
• George W. Whitehead, Elements of Homotopy Theory（《同伦论要素》；系统讨论同伦论并多次使用该定理）
• Edwin H. Spanier, Algebraic Topology（《代数拓扑》；常见于同伦等价与弱等价的讨论章节）