Homotopy Group

定义 / Definition

同伦群：代数拓扑中的一种不变量，用来描述空间在“连续变形”（同伦）意义下的结构信息；常见的有基本群 \( \pi_1 \) 与高阶同伦群 \( \pi_n \)。在很多情形下，它能区分看起来相似但拓扑结构不同的空间。（该术语在更专业语境下还有更细分的定义与性质。）

发音 / Pronunciation

/həˈmɒtəpi ɡruːp/（常见英式）
/hoʊˈmɑːtəpi ɡruːp/（常见美式）

例句 / Examples

The homotopy group can tell whether a loop can be shrunk to a point.
同伦群可以判断一个环路是否能连续收缩到一个点。

In algebraic topology, higher homotopy groups provide powerful invariants for distinguishing spaces that share the same homology.
在代数拓扑中，高阶同伦群提供了强有力的不变量，用来区分那些同调相同但空间结构仍不同的空间。

词源 / Etymology

homotopy 来自希腊语词根：homo-（相同）+ topos（地方/位置），引申为“在连续变形下保持同一类”的思想；group 来自数学中的“群”，表示满足一定运算规则的代数结构。合起来，homotopy group 就是“由同伦概念定义出来的群”。

相关词 / Related Words

• Algebraic Topology
• Fundamental Group
• Homotopy
• Homology
• Loop
• Manifold
• Covering Space
• Topological Space

文学作品 / Literary Works

• Algebraic Topology — Allen Hatcher（广泛使用的教材，系统讨论同伦群等核心概念）
• Algebraic Topology — Edwin H. Spanier（经典参考书，涵盖同伦群与相关理论）
• Elements of Homotopy Theory — George W. Whitehead（同伦论的重要著作，频繁使用同伦群）
• Topology and Geometry — Glen E. Bredon（包含代数拓扑内容，涉及同伦群的应用）