Wedge Product

Definition（释义）

wedge product：楔积；外积（外代数中的乘法运算）。一种把两个微分形式或向量空间中的交替张量相乘的运算，结果的次数（degree）相加，并满足反交换性质：交换两个因子会引入符号变化（例如对 1-形式：\( \alpha \wedge \beta = -\,\beta \wedge \alpha \)）。在微分几何、向量分析、物理（如电磁学）中常用。

Pronunciation（发音，IPA）

/ˈwɛdʒ ˈprɑːdʌkt/

Examples（例句）

The wedge product of two 1-forms is a 2-form.
两个 1-形式的楔积是一个 2-形式。

Using the wedge product, we can write the area element as \(dx \wedge dy\), which changes sign if we swap the order.
使用楔积，我们可以把面积元素写成 \(dx \wedge dy\)；如果交换顺序，它会改变符号。

Etymology（词源）

wedge 本义是“楔子/楔形物”，暗示一种“插入、拼接成形”的直观形象；在数学语境中，wedge（∧） 作为符号常用来表示“楔形/尖角”的形状。product 是“乘积/积”。合起来指外代数里的一种“乘法”——把低阶对象“拼接”成高阶对象，并保留交替（反对称）结构。

Related Words（相关词汇）

• Exterior Product
• Exterior Algebra
• Differential Form
• Tensor Product
• Cross Product
• Antisymmetric
• Alternating Tensor
• Orientation

Notable Works（文学/著作中的用例）

• Calculus on Manifolds（Michael Spivak）：用楔积系统化表达微分形式与积分理论。
• Differential Forms in Algebraic Topology（Raoul Bott & Loring W. Tu）：以楔积为核心构建上同调与拓扑工具。
• Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms（John H. Hubbard & Barbara Burke Hubbard）：面向学习者，将楔积与几何直觉、计算联系起来。
• Gravitation（Misner, Thorne, Wheeler）：在广义相对论与微分形式表达中频繁使用楔积符号与相关运算。