Weak Operator Topology

释义 Definition

弱算子拓扑：在（通常是希尔伯特空间或巴拿赫空间上的）有界线性算子集合上定义的一种拓扑，使得算子序列/网 \(T_\alpha\) 收敛到 \(T\) 的含义是“在每个向量对上测试都收敛”。在希尔伯特空间上常见的刻画是：
\[ T_\alpha \to T \text{（WOT）} \iff \langle T_\alpha x,\, y\rangle \to \langle Tx,\, y\rangle \quad \text{对所有 } x,y. \]
它比范数拓扑更弱（更容易收敛），也与强算子拓扑（SOT）不同。该术语在泛函分析与算子理论中非常常用。

发音 Pronunciation (IPA)

/wiːk ˈɑːpəreɪtər təˈpɑːlədʒi/

例句 Examples

The sequence converges in the weak operator topology.
这个序列在弱算子拓扑下收敛。

On a Hilbert space, \(T_n \to T\) in the weak operator topology means \(\langle T_n x, y\rangle\) converges to \(\langle Tx, y\rangle\) for every pair of vectors \(x\) and \(y\).
在希尔伯特空间上，\(T_n \to T\) 的弱算子拓扑收敛意味着对任意向量对 \(x,y\)，内积 \(\langle T_n x, y\rangle\) 都收敛到 \(\langle Tx, y\rangle\)。

词源 Etymology

该短语由三部分构成：weak（弱的）+ operator（算子）+ topology（拓扑）。其中 “weak” 来自泛函分析中“弱收敛/弱拓扑”的命名传统，表示用较少的“测试函数/测试量”来定义收敛（因此条件更宽松）；“operator” 指线性算子；“topology” 表示用开集/邻域语言刻画收敛与连续性的结构。弱算子拓扑的思想与“用对偶配对（如内积）来检测收敛”的方法一脉相承。

相关词 Related Words

• Banach Space
• Bounded Operator
• Convergence
• Dual Space
• Functional Analysis
• Hilbert Space
• Norm Topology
• Strong Operator Topology
• Weak Topology
• Weak-* Topology

文学与名著中的用例 Notable Works

• John B. Conway, A Course in Functional Analysis（算子拓扑章节中讨论 WOT 与 SOT）
• Walter Rudin, Functional Analysis（在有界算子与拓扑收敛的语境中出现）
• Reed & Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. I: Functional Analysis（算子收敛与谱理论相关处常用 WOT）
• Kôsaku Yosida, Functional Analysis（拓扑与算子理论的经典教材中出现）
• Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications（入门教材中常提及弱拓扑思想，并在算子收敛处涉及 WOT）