Norm Topology

定义 Definition

范数拓扑：在一个赋范向量空间（或赋范线性空间）中，由范数 \( \|x\| \) 诱导出来的拓扑。直观地说，它用“向量之间的距离（由范数给出）”来定义开集、收敛与连续性：

• 序列 \(x_n \to x\) 当且仅当 \( \|x_n - x\| \to 0 \)。
  （在某些语境下还存在其他拓扑，如弱拓扑、弱*拓扑；“norm topology”通常指最常用、最强的那种由范数直接给出的拓扑。）

发音 Pronunciation (IPA)

/nɔːrm təˈpɑːlədʒi/

例句 Examples

In the norm topology, \(x_n \to x\) means \(\|x_n - x\| \to 0\).
在范数拓扑下，\(x_n \to x\) 意味着 \(\|x_n - x\| \to 0\)。

The unit ball is closed in the norm topology, but it may fail to be compact in infinite-dimensional spaces.
单位球在范数拓扑中是闭集，但在无限维空间里它可能不是紧的。

词源 Etymology

norm 源自拉丁语 norma（“木工用的曲尺、准则”），引申为“标准、度量”；topology 来自希腊语 topos（“地方”）+ -logia（“学问/研究”）。合起来，“norm topology”字面意思就是“由范数（度量标准）所决定的拓扑结构”。

相关词 Related Words

• Banach Space
• Norm
• Metric Topology
• Open Set
• Convergence
• Continuity
• Weak Topology
• Weak-* Topology

文学与名著用例 Literary Works

• Walter Rudin, Functional Analysis（泛函分析经典教材中频繁以“norm topology”对比弱拓扑等概念）
• John B. Conway, A Course in Functional Analysis（讨论赋范空间、巴拿赫空间时常用该术语）
• Eberhard Zeidler, Applied Functional Analysis（在算子理论与应用泛函分析语境中使用“norm topology”与其他拓扑作区分）