Weak Limit

Definition / 定义

weak limit（弱极限）：在泛函分析与测度论中，指一个序列（或网）在弱拓扑意义下收敛到的极限。也就是说，它不要求“在范数下”或“逐点”强收敛，而是要求对所有合适的测试对象（如连续线性泛函、测试函数）作用后的结果收敛。常见于 弱收敛（weak convergence）、分布收敛、PDE 的变分方法等语境。
（注：不同空间里“弱”的具体含义会随所选对偶空间/测试函数类而变化。）

Pronunciation / 发音

/wiːk ˈlɪmɪt/

Examples / 例句

The sequence has no strong limit, but it does have a weak limit.
这个序列没有强极限，但它确实存在弱极限。

In a reflexive Banach space, every bounded sequence admits a weakly convergent subsequence, and its weak limit can be characterized via continuous linear functionals.
在自反的巴拿赫空间中，每个有界序列都存在弱收敛子列，其弱极限可通过连续线性泛函来刻画。

Etymology / 词源

weak 源自古英语 wāc（意为“虚弱的、力量不足的”），在数学里借用来表示“要求更弱/更少条件”的概念；limit 源自拉丁语 *limes/limit-*（边界、界限）。合起来的 weak limit 字面意思是“较弱意义下的极限”，强调收敛判据比“强极限（strong limit）”更宽松。

Related Words / 相关词

• Weak Convergence
• Strong Convergence
• Weak Topology
• Weak-* Convergence
• Functional
• Reflexive
• Banach Space
• Distribution

Literary Works / 文学与著作中的用例

• Functional Analysis（Walter Rudin）：在对偶空间与弱拓扑章节中讨论弱收敛与弱极限。
• Real and Functional Analysis（Serge Lang）：用弱极限刻画有界序列的紧性与收敛性质。
• Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations（Haim Brezis）：在变分法与 PDE 中大量使用弱收敛与弱极限。
• Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications（Gerald B. Folland）：在测度与函数空间框架下涉及弱收敛相关概念。