Riemann–Roch Theorem

定义 Definition

黎曼–罗赫定理：复分析与代数几何中的基本定理，用来把曲线（黎曼曲面/代数曲线）上某个除子（divisor）对应的函数空间维数与该曲线的亏格（genus）以及除子的次数（degree）联系起来。它常用于计算“有多少个独立的亚纯函数/截面满足给定零点与极点条件”。（在更高维与更一般情形下有推广，如 Hirzebruch–Riemann–Roch、Grothendieck–Riemann–Roch。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈriːmɑːn rɒk ˈθiːərəm/

例句 Examples

The Riemann–Roch theorem helps compute the dimension of spaces of meromorphic functions on a compact Riemann surface.
黎曼–罗赫定理可以帮助计算紧致黎曼曲面上亚纯函数空间的维数。

Using the Riemann–Roch theorem, one can relate \( \ell(D) \) to the degree of \(D\) and the genus \(g\), turning geometric data into a concrete dimension count.
利用黎曼–罗赫定理，可以把 \( \ell(D) \) 与除子 \(D\) 的次数以及曲线的亏格 \(g\) 联系起来，把几何信息转化为可计算的维数结论。

词源 Etymology

该名称来自两位数学家：Bernhard Riemann（伯恩哈德·黎曼）与Gustav Roch（古斯塔夫·罗赫）。黎曼在研究黎曼曲面与阿贝尔函数时提出了相关思想，罗赫随后对结果作了补充与完善，最终形成通常所说的“黎曼–罗赫定理”。“theorem”意为“定理”。

相关词 Related Words

• Divisor
• Riemann Surface
• Algebraic Curve
• Genus
• Line Bundle
• Canonical Divisor
• Sheaf Cohomology
• Serre Duality
• Euler Characteristic
• Degree

文学与名著中的出现 Literary Works

• Algebraic Geometry — Robin Hartshorne（《代数几何》）
• Principles of Algebraic Geometry — Phillip Griffiths & Joseph Harris（《代数几何原理》）
• Lectures on Riemann Surfaces — Otto Forster（《黎曼曲面讲义》）
• Algebraic Curves and Riemann Surfaces — Rick Miranda（《代数曲线与黎曼曲面》）