Dual Vector Space

释义 Definition

对偶向量空间：给定一个域 \(F\) 上的向量空间 \(V\)，其对偶空间（通常记作 \(V^\*\)）是由所有从 \(V\) 到 \(F\) 的线性函数（线性泛函）组成的向量空间。它把“向量”映射为“标量”，常用于表达内积、线性约束、张量与线性算子的理论。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈdjuːəl ˈvɛktər speɪs/（BrE 常见 /ˈdjuːəl/；AmE 常见 /ˈduːəl/）

例句 Examples

The dual vector space \(V^\*\) consists of all linear functionals on \(V\).
对偶向量空间 \(V^\*\) 由 \(V\) 上所有线性泛函组成。

In finite dimensions, choosing a basis for \(V\) determines a dual basis in the dual vector space, which makes it easy to represent linear maps as matrices.
在有限维情况下，为 \(V\) 选定一组基会在对偶向量空间中诱导出一组对偶基，从而便于把线性映射表示为矩阵。

词源 Etymology

dual 来自拉丁语 dualis（“两者的、成对的”），在数学中常指“与某对象成对出现、以某种对应关系刻画它的对象”。vector 来自拉丁语 vector（“搬运者”），现代数学中指向量。space 表示“空间/集合结构”。合起来，dual vector space 指“与原向量空间 \(V\) 成对、由线性泛函构成的空间”，与 \(V\) 通过“作用（evaluation）”\(f(v)\) 自然关联。

相关词 Related Words

• Dual
• Vector
• Vector Space
• Linear Functional
• Linear Map
• Dual Basis
• Inner Product
• Tensor
• Annihilator
• Transpose

文学与经典作品 Literary & Notable Works

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right（线性代数教材中系统使用 \(V^\*\) 与线性泛函的观点）
• Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra（讨论线性映射、矩阵与对偶/转置的关系时常出现）
• Serge Lang, Linear Algebra（更偏理论的线性代数书，频繁使用对偶空间与对偶基）
• Walter Rudin, Functional Analysis（在泛函分析中，对偶空间是核心概念；虽常推广到赋范空间的对偶，但线性代数的对偶空间是基础）