Quadratic Form

释义 Definition

二次型（quadratic form）：数学中指一个关于若干变量的二次齐次多项式，常写作
\[ Q(x)=x^{T}Ax \] 其中 \(x\) 是向量，\(A\) 是矩阵（在实数情形下常取对称矩阵）。二次型用于研究几何形状（如圆锥曲线/二次曲面）、优化问题、以及矩阵的正定性等。

例句 Examples

A quadratic form can be written as \(x^T A x\).
二次型可以写成 \(x^T A x\)。

To determine whether the equilibrium is stable, we analyze the quadratic form defined by the Hessian matrix at the critical point.
为了判断平衡点是否稳定，我们分析由临界点处的海森矩阵所定义的二次型。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈkwɑːdrætɪk fɔːrm/（美式常见）
/kwɒˈdrætɪk fɔːm/（英式常见）

词源 Etymology

quadratic 来自拉丁语 quadratus（“方形的、平方的”），与“平方（second power）”的概念密切相关；form 源自拉丁语 forma（“形状、形式”）。合在一起，quadratic form 字面意思可理解为“二次的表达形式”，在现代数学中专指满足二次齐次结构的代数表达式。

相关词 Related Words

• Bilinear Form
• Symmetric Matrix
• Positive Definite
• Eigenvalue
• Hessian Matrix
• Inner Product
• Conic Section
• Quadratic Polynomial

文学与经典著作中的出现 Notable Works

• Rational Quadratic Forms（J. W. S. Cassels）：系统讨论有理数域上的二次型理论。
• A Course in Arithmetic（Jean-Pierre Serre）：在数论背景中涉及二次型与相关结构。
• Introduction to Linear Algebra（Gilbert Strang）：在矩阵与二次型（如正定性、能量表达）语境中出现。
• Matrix Analysis（Roger A. Horn & Charles R. Johnson）：用二次型刻画矩阵性质（如正定/半正定）。
• The Classical Groups: Their Invariants and Representations（Hermann Weyl）：在经典群与不变量理论中与二次型相关。