Probability Measure
定义 Definition
概率测度：在可测空间 \((\Omega,\mathcal{F})\) 上定义的一种测度 \(P\)，满足
- 非负性：对任意 \(A\in\mathcal{F}\)，\(P(A)\ge 0\)；
- 规范化：\(P(\Omega)=1\)；
- 可列可加性：对两两不交的事件序列 \(\{A_n\}\subset\mathcal{F}\)，有 \(P(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)=\sum_{n=1}^\infty P(A_n)\)。
它用来严格刻画“事件发生的概率”，是现代概率论的基础概念。（在不同语境下也可简称为“概率分布”的测度表达。）
发音 Pronunciation
/ˌprɑːbəˈbɪləti ˈmɛʒər/
例句 Examples
A probability measure assigns a number between 0 and 1 to each event.
概率测度会给每个事件分配一个介于 0 和 1 之间的数。
Given a probability measure \(P\) on \((\Omega,\mathcal{F})\), the expectation can be defined as an integral with respect to \(P\).
给定可测空间 \((\Omega,\mathcal{F})\) 上的概率测度 \(P\)，期望可以定义为对 \(P\) 的积分。
词源 Etymology
probability 源自拉丁语 probabilitas（“可信性、可能性”），与 probabilis（“似乎可信的”）相关；measure 源自拉丁语 mensura（“度量、测量”）。合在一起，probability measure 直译为“用测度来度量概率”，体现了 20 世纪将概率论建立在测度论之上的数学化表述。
相关词 Related Words
文学与经典作品 Literary Works
- Andrey N. Kolmogorov, Foundations of the Theory of Probability（以公理化方式定义概率测度）
- Patrick Billingsley, Probability and Measure（系统讲解“概率测度”与测度论框架）
- David Williams, Probability with Martingales（在鞅与条件期望中频繁使用概率测度）
- Gerald B. Folland, Real Analysis（在实分析/测度论中讨论概率测度作为测度的特例）
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