Measurable Space

释义 Definition

可测空间：测度论中的基本结构，指一个二元组 \((X,\Sigma)\)。其中 \(X\) 是一个集合（“空间”），\(\Sigma\) 是 \(X\) 上的一个 σ-代数（包含空集、对补集封闭、对可数并封闭），用来指定哪些子集是“可测的”，从而为定义测度与概率打下基础。（更完整的三元组 \((X,\Sigma,\mu)\) 称为测度空间。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈmɛʒərəbəl speɪs/

例句 Examples

A measurable space is a set with a sigma-algebra.
可测空间是“集合 + σ-代数”的结构。

Let \((X,\Sigma)\) be a measurable space and let \(f:X\to\mathbb{R}\) be measurable; then \(f^{-1}((-\infty,a))\in\Sigma\) for every real \(a\).
设 \((X,\Sigma)\) 为可测空间，且 \(f:X\to\mathbb{R}\) 可测；则对任意实数 \(a\)，都有 \(f^{-1}((-\infty,a))\in\Sigma\)。

词源 Etymology

measurable 来自 measure（“测量/测度”）+ 后缀 -able（“能够……的”），表示“可以被测度/可测的”。space 在数学语境中常指“集合或带结构的集合”。“measurable space（可测空间）”这一术语随着19–20世纪的测度论发展而定型，尤其与 勒贝格（Lebesgue）测度与现代概率论对“可测集合体系”的需求密切相关。

相关词 Related Words

• Measure
• Measurable
• Sigma-Algebra
• Measure Space
• Probability Space
• Measurable Function
• Borel Set
• Borel Sigma-Algebra

文学与著作中的用例 Literary / Notable Works

• Measure Theory（Paul R. Halmos）：系统引入可测空间、σ-代数与测度的经典教材。
• Probability and Measure（Patrick Billingsley）：在概率论框架下频繁使用“measurable space”来建立随机变量与事件的形式化基础。
• Real and Complex Analysis（Walter Rudin）：在分析学与测度论结合的章节中使用该概念作为积分与可测性的基础结构。