Partition of Unity

释义 Definition（中文）

（数学）单位分解 / 统一分割：在拓扑学与微分几何中，指一族函数（常记为 \(\{\varphi_i\}\)），每个函数取值在 \([0,1]\) 之间，并且在空间的每一点处这些函数的和等于 1（\(\sum_i \varphi_i(x)=1\)）。常用于把“局部”构造粘合成“整体”结论，尤其在流形上从局部坐标推广到全局对象。

发音 Pronunciation（IPA）

/pɑːrˈtɪʃən əv ˈjuːnɪti/

词源 Etymology（中文）

partition 源自拉丁语 partitio（“分配、划分”），经法语进入英语，核心含义是“把整体分成若干部分”。unity 源自拉丁语 unitas（“一、统一”）。组合成 partition of unity 这一术语时，表达的是“分成许多部分，但这些部分在每一点上又共同‘加起来等于 1’的统一性”，体现了用局部函数覆盖并拼接全局结构的思想。

例句 Examples

A partition of unity lets us patch local functions into a global one.
单位分解使我们能够把局部定义的函数拼接成一个全局函数。

Using a smooth partition of unity subordinate to an open cover, we can define the integral of a differential form on a manifold.
利用从属于一个开覆盖的光滑单位分解，我们可以在流形上定义微分形式的积分。

相关词 Related Words

• Atlas
• Chart
• Manifold
• Open Cover
• Topology
• Differential Geometry
• Bump Function
• Sheaf
• Local-to-Global
• Smooth Function

文学与名著用例 Literary Works（出现/常见出处）

• James R. Munkres, Topology（常在“分割统一 / partitions of unity”相关章节中出现，用于证明与构造）
• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds（用单位分解构造全局对象，如度量、联络、积分等）
• Michael Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry（在流形理论与粘合论证中频繁使用）
• Frank W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups（用于从局部数据构造全局结构的标准工具）
• Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry（在黎曼度量等全局构造中常见）