Morse Function

定义 Definition

Morse function（莫尔斯函数）：微分拓扑与几何中常用的一类光滑函数 \(f: M \to \mathbb{R}\)（定义在流形 \(M\) 上），其所有临界点都是非退化的（即在临界点处的 Hessian 矩阵可逆），并且临界点彼此“分离”（在紧流形上通常等价于临界点是孤立的）。它用来通过函数的“高度变化”来分析流形的拓扑结构。
（注：在更一般语境中也会谈到 Morse–Bott 函数等变体。）

发音 Pronunciation (IPA)

/mɔːrs ˈfʌŋkʃən/

例句 Examples

A Morse function has only nondegenerate critical points.
莫尔斯函数只含有非退化的临界点。

By studying the critical points and indices of a Morse function on a manifold, we can infer how the manifold’s topology changes across level sets.
通过研究流形上莫尔斯函数的临界点及其指标，我们可以推断流形的拓扑如何随等值集（水平集）的变化而改变。

词源 Etymology

Morse 来自美国数学家 Marston Morse（马斯顿·莫尔斯） 的姓氏；function 意为“函数”。“Morse function”因此直译为“莫尔斯（提出的理论中的）函数”，是 Morse theory（莫尔斯理论） 的核心概念之一。

相关词 Related Words

• Topology
• Manifold
• Critical Point
• Hessian
• Index
• Gradient
• Level Set
• Homology
• Cobordism
• Morse Theory

文学与经典著作中的用例 Literary Works

• John Milnor, Morse Theory（《莫尔斯理论》, 1963）：系统奠定该概念与拓扑应用的经典专著。
• Victor Guillemin & Alan Pollack, Differential Topology（《微分拓扑》）：以入门方式介绍莫尔斯函数与临界点方法。
• Morris W. Hirsch, Differential Topology：包含莫尔斯函数在流形分类与基本定理中的标准论述。
• Raoul Bott 与相关论文（莫尔斯理论/莫尔斯-博特理论方向）：在几何与拓扑交叉领域频繁使用该术语。