Measurable Function

定义 Definition

measurable function（可测函数）：在测度论中，指一个函数在给定的“可测空间/σ-代数”结构下是“可测的”。直观说，它不会把“可测的集合”映射成“不可处理的集合”；更正式地说：对任意实数 \(a\)，集合 \(\{x: f(x) > a\}\)（或等价形式）在定义域的σ-代数中。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈmɛʒərəbəl ˈfʌŋkʃən/

例句 Examples

A continuous function is measurable.
连续函数是可测函数。

If \(f\) is a measurable function, then \(\int f \, d\mu\) is well-defined (possibly infinite) under standard conditions.
如果 \(f\) 是可测函数，那么在常见条件下 \(\int f \, d\mu\) 是有定义的（可能为无穷大）。

词源 Etymology

measurable 来自 measure（测量、度量）+ -able（“能够……的”），表示“能够被测度/度量处理的”。在数学里，“可测”不是指“能用尺子测”，而是指与测度和σ-代数相容、便于定义概率与积分。function 源于拉丁语 functio（执行、作用），在数学中指“输入到输出的映射”。

相关词 Related Words

• Measurable
• Measure
• Sigma-algebra
• Measurable Set
• Measure Space
• Borel
• Integration
• Lebesgue
• Random Variable

文学与经典著作 Literary Works

• Measure Theory（Paul R. Halmos）——系统引入可测函数、积分与收敛定理。
• Real and Complex Analysis（Walter Rudin）——以可测函数为核心工具讨论勒贝格积分与分析。
• Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications（Gerald B. Folland）——在更一般框架下大量使用“measurable function”。
• Probability and Measure（Patrick Billingsley）——把随机变量视为可测函数，贯穿概率论表述。