Borel Set

定义 Definition

Borel set（博雷尔集）：在给定的拓扑空间（最常见是实数集 \(\mathbb{R}\) 及其通常拓扑）中，由开集出发，通过对集合进行可数次并、可数次交以及取补等运算所生成的最小的 \(\sigma\)-代数中的任何集合。它是测度论与概率论中“可测集合”的最基础类别之一。（在更一般的空间里也可定义相应的 Borel \(\sigma\)-代数。）

发音 Pronunciation

/ˈbɔːrəl sɛt/

例句 Examples

A closed interval \([0,1]\) is a Borel set.
闭区间 \([0,1]\) 是一个博雷尔集。

In \(\mathbb{R}\), every open set is a Borel set, and the Borel \(\sigma\)-algebra is generated by all open intervals.
在 \(\mathbb{R}\) 中，每个开集都是博雷尔集，而博雷尔 \(\sigma\)-代数可由所有开区间生成。

词源 Etymology

Borel 来自法国数学家 Émile Borel（埃米尔·博雷尔） 的姓氏。博雷尔在 19—20 世纪之交对测度论、函数论与集合论的发展贡献很大，“Borel set”用于纪念他在可测集合体系早期建立中的工作；set 则是英语“集合”。

相关词 Related Words

• Sigma-Algebra
• Measurable
• Measure
• Lebesgue
• Topology
• Open
• Closed
• Probability

文献与作品 Literary Works

• Real and Complex Analysis（Walter Rudin）——在测度与可测性章节中大量使用 Borel set。
• Measure Theory（Paul R. Halmos）——系统讨论 Borel \(\sigma\)-代数与相关构造。
• Probability and Measure（Patrick Billingsley）——在概率论框架下频繁出现 Borel set（如 Borel 可测函数、Borel 概率测度）。
• An Introduction to Measure Theory（Terence Tao）——以现代写法讲解 Borel 集与勒贝格测度的关系。