LU Decomposition

释义 Definition

LU 分解：一种把方阵 \(A\) 分解为两个三角矩阵乘积的方法，通常写作
\[ A = LU \] 其中 \(L\) 是（单位）下三角矩阵，\(U\) 是上三角矩阵。常用于快速求解线性方程组、计算行列式与进行数值计算。（很多实际情形会包含置换矩阵：\(PA=LU\)，称为带主元/置换的 LU 分解。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌɛlˈjuː ˌdiːkəmˈpoʊzɪʃən/

例句 Examples

LU decomposition helps solve linear systems efficiently.
LU 分解能高效地求解线性方程组。

Using partial pivoting, we compute a stable LU decomposition to solve \(Ax=b\) for many different right-hand sides.
使用部分主元选取，我们计算数值更稳定的 LU 分解，从而在多个不同的右端向量情况下求解 \(Ax=b\)。

词源 Etymology

“LU” 来自矩阵分解结果中的两部分：L（lower triangular，下三角）与 U（upper triangular，上三角）。 “decomposition”（分解）源自拉丁语 decomponere（拆开、分解），在数学里常指把对象拆成更易处理的结构。

相关词 Related Words

• Matrix
• Factorization
• Gaussian Elimination
• Triangular Matrix
• Pivoting
• Linear System
• Determinant
• Cholesky Decomposition
• QR Decomposition
• Eigenvalue

文学与经典著作 Literary Works

• Matrix Computations — Gene H. Golub & Charles F. Van Loan（数值线性代数经典教材，系统讲 LU 分解与稳定性）
• Introduction to Linear Algebra — Gilbert Strang（入门教材中常用 LU 分解解释消元法与矩阵结构）
• Numerical Linear Algebra — Lloyd N. Trefethen & David Bau III（讨论 LU 分解、主元选取与误差分析）
• Numerical Recipes — Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery（以算法实践角度给出 LU 分解求解方程组的实现思路）