QR Decomposition

释义 Definition

QR decomposition（QR分解）：一种把矩阵 \(A\) 分解为 \(A = QR\) 的方法，其中 \(Q\) 通常是正交/酉矩阵（列正交，满足 \(Q^\top Q=I\) 或 \(Q^*Q=I\)），\(R\) 是上三角矩阵。它常用于求解最小二乘问题、数值稳定的线性方程求解与特征值算法等。（在复数情形也常称为 QR factorization。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌkjuː ˈɑːr ˌdiːkəmˈpoʊzɪʃən/

例句 Examples

We used QR decomposition to solve the least-squares fit.
我们用 QR 分解来求解最小二乘拟合。

In numerical linear algebra, QR decomposition (often via Householder reflections) provides a stable way to compute \(x\) in \(Ax \approx b\) when \(A\) is tall and ill-conditioned.
在数值线性代数中，QR 分解（常通过 Householder 反射实现）能在 \(A\) 为高矩阵且病态时，稳定地计算 \(Ax \approx b\) 的解 \(x\)。

词源 Etymology

“QR” 来自分解后两部分矩阵的常用记号：Q 表示 orthogonal/unitary（正交/酉）矩阵，R 表示 upper triangular（上三角）矩阵（历史上字母选择与记号习惯有关）。decomposition 源自拉丁语词根，意为“分开、分解”，在数学中引申为“把对象拆成结构更简单的乘积或部分”。

相关词 Related Words

• Matrix
• Factorization
• Orthogonal
• Unitary
• Upper-Triangular
• Gram-Schmidt
• Householder
• Least-Squares
• Eigenvalue
• SVD

文学与典籍 Literary Works

• Golub & Van Loan, Matrix Computations（《矩阵计算》）：系统讲解 QR 分解及其数值实现（如 Householder 与 Givens）。
• Trefethen & Bau, Numerical Linear Algebra（《数值线性代数》）：用 QR 分解串联最小二乘与稳定算法思想。
• Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra（《线性代数导论》）：以学习者友好的方式介绍 QR 分解与最小二乘。
• Horn & Johnson, Matrix Analysis（《矩阵分析》）：在矩阵理论框架下讨论正交/酉分解等相关内容。