Lipschitz Condition

释义 Definition

Lipschitz 条件：一种对函数“变化速度”作出的约束。若存在常数 \(L \ge 0\)，使得对定义域内任意两点 \(x,y\)，都有
\[ |f(x)-f(y)| \le L|x-y|, \] 则称 \(f\) 满足 Lipschitz 条件（也常说 \(f\) 是 Lipschitz 连续 的）。它比一般连续更强，常用于保证微分方程解的存在与唯一性等结论。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈlɪpʃɪts kənˈdɪʃən/

例句 Examples

This function satisfies the Lipschitz condition on \([0,1]\).
这个函数在区间 \([0,1]\) 上满足 Lipschitz 条件。

If the vector field is Lipschitz continuous in \(x\), the initial value problem has a unique solution.
如果向量场关于 \(x\) 满足 Lipschitz 连续性，那么该初值问题就有唯一解。

词源 Etymology

“Lipschitz” 来自德国数学家 Rudolf Lipschitz（鲁道夫·利普希茨） 的姓氏；“condition” 表示“条件/约束”。该术语用于描述一种“函数增量受线性上界控制”的性质，因此在分析学、度量空间与微分方程中非常常见。

相关词 Related Words

• Lipschitz
• Continuity
• Uniform Continuity
• Holder Condition
• Contraction Mapping
• Fixed Point
• Differential Equation
• Picard–Lindelof Theorem
• Metric Space
• Norm

文学与名著用例 Literary Works

• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin，《数学分析原理》）——在讨论一致连续、可微性与相关估计时涉及 Lipschitz 类条件。
• Partial Differential Equations（Lawrence C. Evans，《偏微分方程》）——在 PDE 的估计与正则性讨论中常出现 Lipschitz（或局部 Lipschitz）条件。
• Ordinary Differential Equations / 相关教材（如 Coddington & Levinson）——在初值问题的存在唯一性定理中以 Lipschitz 条件作为核心假设。
• Solving Ordinary Differential Equations I（Hairer, Nørsett & Wanner）——讨论数值方法与理论基础时会用到 Lipschitz 常数/条件来控制误差与稳定性。