Uniform Continuity

定义 Definition

一致连续（数学）：函数在某个集合上不仅“处处连续”，而且连续的“尺度”可以统一控制。形式化地说：对任意 \( \varepsilon>0 \)，都存在 \( \delta>0 \)，使得对集合中任意两点 \(x,y\)，只要 \(|x-y|<\delta\)，就有 \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\)；关键在于这个 \(\delta\) 不依赖于点的位置。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈjuːnɪfɔːrm ˌkɑːntɪˈnjuːɪti/

例句 Examples

The function is uniformly continuous on \([0,1]\).
这个函数在区间 \([0,1]\) 上是一致连续的。

By the Heine–Cantor theorem, every continuous function on a compact set is uniformly continuous, so we can choose a single \(\delta\) that works for the whole interval.
根据海涅—康托尔定理，紧集上的连续函数必一致连续，因此我们可以选取一个对整个区间都适用的同一个 \(\delta\)。

词源 Etymology

uniform 来自拉丁语 ūniformis（“形状一致的、统一的”），由 ūnus（一）+ forma（形状）构成；continuity 源自拉丁语 continuitas（“连续性”），与 continuus（连续的）同源。合起来的术语强调：连续性不仅存在，而且在全域上“统一地”成立。

相关词 Related Words

• Continuity
• Uniformly Continuous
• Lipschitz
• Compactness
• Heine-Cantor Theorem
• Modulus Of Continuity
• Limit
• Epsilon-Delta Definition

文学与经典著作 Literary Works

• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）——在实分析中系统讨论连续与一致连续，并与紧性等概念关联。
• Calculus（Michael Spivak）——以严谨方式在微积分与实分析过渡处使用一致连续的思想。
• Mathematical Analysis（Tom M. Apostol）——在极限、连续与函数性质章节中频繁出现该术语。