Left Coset

Definition / 定义

left coset（左陪集）：群论中，给定群 \(G\) 的一个子群 \(H\) 和元素 \(g\in G\)，由 \(g\) 左乘 \(H\) 中所有元素得到的集合，记作
\[ gH=\{gh\mid h\in H\}. \] 左陪集常用于把群按“等价类”方式分割（陪集分解），并与拉格朗日定理等结论密切相关。

Pronunciation / 发音

/lɛft ˈkoʊzɛt/

Examples / 例句

A left coset of \(H\) in \(G\) has the form \(gH\).
在 \(G\) 中，子群 \(H\) 的一个左陪集形如 \(gH\)。

If \(H\) is a subgroup of \(G\), then any two left cosets of \(H\) are either identical or disjoint, and the set of left cosets partitions \(G\).
如果 \(H\) 是 \(G\) 的子群，那么 \(H\) 的任意两个左陪集要么完全相同，要么互不相交；所有左陪集会把 \(G\) 划分成若干部分。

Etymology / 词源

coset 来自 **co-**（“共同、一起”）+ set（“集合”），字面含义接近“共同构成的集合”。在群论里它指由子群通过某个元素的平移（左乘或右乘）得到的一类集合；加上 left 用来区分“左乘得到的陪集”（left coset）与“右乘得到的陪集”（right coset）。

Related Words / 相关词

• Coset
• Right Coset
• Subgroup
• Group
• Normal Subgroup
• Quotient Group
• Lagrange’s Theorem
• Index
• Conjugate

Literary Works / 文学与典籍用例

• Abstract Algebra（Dummit & Foote）——在陪集分解、指数（index）与拉格朗日定理章节中系统使用 left coset。
• Algebra（Michael Artin）——讲解商群、正规子群时反复出现 left coset 的定义与性质。
• A Course in Group Theory（John F. Humphreys）——以陪集为工具建立群作用、轨道-稳定子等核心概念。
• Topics in Algebra（I. N. Herstein）——在基础群论部分用 left coset 推导基本定理与例子。