Ideal Class Group

定义 Definition

ideal class group（理想类群）：代数数论中的一个重要对象，描述某个环（常见为数域的整数环）里“理想分解”偏离唯一分解的程度。直观地说，它把所有可逆分式理想按“相差一个主理想视为同类”来分类，这些等价类在乘法下构成一个群；该群为平凡群时，对应某种意义上的“唯一分解”成立。

发音 Pronunciation (IPA)

/aɪˈdiːəl klæs ɡruːp/

例句 Examples

In some number fields, the ideal class group is nontrivial.
在一些数域中，理想类群不是平凡的。

The size of the ideal class group (the class number) measures how far the ring is from unique factorization.
理想类群的大小（类数）衡量该整数环距离“唯一分解”有多远。

词源与背景 Etymology (中文)

ideal（理想）在数学中的“理想”含义主要源自 19 世纪代数的发展，尤其与戴德金（Dedekind）对“理想”的系统化使用有关，用来把“整除性/因子分解”的性质转化为对集合（理想）的运算。class group（类群）中的“class”指等价类：把相差一个主理想的分式理想视为同一类；这些类在理想乘法下形成“群”，因此称为“理想类群”。它是研究代数整数环分解性质的核心不变量之一。

相关词 Related Words

• Ideal
• Class Group
• Dedekind Domain
• Fractional Ideal
• Principal Ideal
• Class Number
• Ring Of Integers
• Unique Factorization
• Picard Group
• Minkowski Bound

文献作品 Literary & Notable Works

• Algebraic Number Theory（Serge Lang）
• Algebraic Number Theory（Jürgen Neukirch）
• Number Fields（Daniel A. Marcus）
• A Classical Introduction to Modern Number Theory（Kenneth Ireland & Michael Rosen）
• Primes of the Form x² + ny²（David A. Cox）