Finite Extension

Definition / 释义

finite extension（有限扩张）：数学（抽象代数/域论）术语，指一个“扩张”（通常是域扩张）的“大小”是有限的——更具体地说，若 \(L/K\) 是域扩张，并且把 \(L\) 看作 \(K\) 上的向量空间时其维数 \([L:K]\) 是有限数，则称 \(L/K\) 为有限扩张。（也常见于环、模等语境中，表达“作为某种结构的生成/维数是有限的”。）

Pronunciation (IPA) / 发音（IPA）

/ˈfaɪnaɪt ɪkˈstɛnʃən/

Examples / 例句

A finite extension has a finite degree.
有限扩张具有有限的次数（维数）。

In Galois theory, a finite extension can often be studied by looking at its automorphism group and the lattice of intermediate fields.
在伽罗瓦理论中，有限扩张常常可以通过研究它的自同构群以及中间域的格结构来分析。

Etymology / 词源

finite 来自拉丁语 finitus（“有界的、有限的”），与 finis（“界限、终点”）同源；extension 来自拉丁语 extendere（“展开、延伸”）。在数学里，“extension（扩张）”被用来表示“把一个结构扩展到更大的结构”（如从 \(K\) 扩到 \(L\)），而“finite（有限）”则强调这种扩张在代数意义上是“可用有限维度/有限生成”来刻画的。

Related Words / 相关词汇

• Field
• Extension
• Algebraic Extension
• Galois Extension
• Finite Field
• Degree
• Intermediate Field
• Vector Space

Literary Works / 文学与著作

• Algebra — Serge Lang（多处使用“finite extension”讨论域扩张与次数）
• Abstract Algebra — Dummit & Foote（在域论章节系统介绍有限扩张与其性质）
• Galois Theory — Emil Artin（以有限扩张为核心对象建立伽罗瓦对应）
• Algebraic Number Theory — Jürgen Neukirch（用有限扩张刻画数域与局部域的结构）